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LA GEOMETRIA FRATTALE:

 

 

Cosa è; cosa può diventare; come usarla; come può influire sulla nostra vita quotidiana.
I frattali sono in primo luogo e soprattutto un linguaggio della geometria.Le forme frattali sono figure matematiche dotate di dimensione frazionaria e non interacome accade per le ordinarie figure geometriche (per esempio le rette, che hanno per dimensione uno, o i piani, che hanno dimensione due). Il fascino che esercitano oggi i frattali è dovuto in ampia misura al lavoro di Benoit B. Mandelbrot, del Thomas J. Watson Research Center della IBM a Yorktown Heights, nello Stato di New York.Mandelbrot coniò il termine frattale nel 1975, traendolo dal latino fractus, da frangere, cioè “spezzato”.Fu nel 1983 che il concetto di frattale acquisì vastissima notorietà presso i matematici, gli scienziati e il pubblico non specializzato, con la pubblicazione dell’opera pionieristica The Fractal Geometry of Nature dello stesso Mandelbrot.I frattali sono molto di più che una semplice curiosità matematica: essi offrono un metodo assai conciso per descrivere oggetti e formazioni.Molte strutture hanno una regolarità geometrica soggiacente detta invarianza, rispetto al cambiamento di scala, o autosomiglianza.Se si esaminano questi oggetti a scale diverse si incontrano sempre gli stessi elementi fondamentali. Questa configurazione ripetitiva definisce la dimensione frazionaria, o frattale, della struttura.La geometria frattale descrive le forme e le configurazioni naturaliin modo più succinto ed esteticamente più validorispetto alla geometria euclidea tradizionale.L’invarianza di scala – autosomoglianza - trova un notevole parallelo nella teoria contemporanea del caos, nella quale molti fenomeni, benché seguano rigide regole deterministiche, si rivelano imprevedibili in linea di principio.Gli eventi caotici, come la turbolenza atmosferica o le pulsazioni cardiache, manifestano andamenti simili su scale temporali diverse, più o meno come gli oggetti dotati di autosomiglianza presentano forme strutturali simili su scale spaziali diverse.La corrispondenza tra frattali e caos non è accidentale; è viceversa il segno di una relazione profonda: la geometria frattale è la geometria del caos.Un’altra analogia tra geometria frattale e teoria del caos consiste nel fatto che in entrambi i campi le scoperte più recenti sono avvenute grazie alla potenza dei calcolatori moderni.
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I frattali sono in primo luogo e soprattutto un linguaggio della geometria; tuttavia i loro elementi fondamentali non possono essere osservati direttamente.Sotto questo profilo essi presentano una differenza basilare rispetto ai ben noti elementi primari della geometria euclidea, come la retta e il cerchio.I frattali non si esprimono mediante forme primarie, bensì mediante algoritmi, vale a dire insiemi di procedure matematiche.Questi algoritmi vengono poi tradotti in forme geometriche con l’ausilio di un calcolatore.Dal momento che la riserva di elementi algoritmici è inesauribile, quando ci si sia impadroniti del linguaggio frattale,    si può descrivere la forma di una nube con la stessa precisione e semplicità con cui un architetto può descrivere una casa mediante una pianta tracciata nel linguaggio della geometria tradizionale.


La seguente metafora è particolarmente appropriata per le idee fondamentali della geometria frattale.Le lingue indoeuropee sono basate su alfabeti finiti (per esempio le 26 lettere con cui si scrivono le parole inglesi o le 21 lettere della lingua italiana).Le lettere non hanno significato sino a quando non sono giustapposte a formare parole. Analogamente, la geometria euclidea è costituita solo da pochi elementi (la retta, il cerchio e così via), con i quali si possono costruire oggetti complessi che, in un certo senso, solo allora hanno un significato geometrico.Certe lingue asiatiche come il cinese sono invece costituite da simboli che hanno di per sé un significato. Nel caso di queste lingue il numero di simboli o elementi possibili è arbitrariamente grande e si può considerare infinito.La geometria frattale è costruita più o meno allo stesso modo: è costituita da infiniti elementi, ciascuno dei quali è unico e completo.Gli elementi geometrici sono definiti da algoritmi, che hanno la funzione di unità “semantiche” della lingua frattale.
Le lingue frattali si dividono in due gruppi linguistici principali: quello lineare e quello non lineare. Le lingue di entrambi i gruppi, che si “parlano” usando un numero infinito di algoritmi, contengono un numero infinito di possibili immagini frattali.Ogni lingua ha più dialetti, che seguono un insieme deterministico di regole (analoghe alle regole dell’ortografia e della grammatica).Il dialetto fondamentale della lingua frattale è la geometria frattale lineare. Questi frattali sono detti lineari perché i loro algoritmi hanno la stessa forma di quelli che definiscono le rette su un piano.
Questo fatto rappresenta una delle grandi potenzialità pratiche della geometria frattale.Descrivendo oggetti opportuni mediante un dialetto frattale lineare si può ridurre notevolmente la quantità di dati necessari per trasmettere o immagazzinare un’immagine.Una dimostrazione convincente di ciò è offerta da una foglia di felce. Una forma così complessa può essere descritta compiutamente da un algoritmo lineare basato su 24 numeri soltanto!         Viceversa per rappresentare l’immagine della foglia punto per punto con la qualità di un’immagine televisiva  ci vorrebbero parecchie centinaia di migliaia di valori numerici.       In linea di principio qualsiasi immagine può essere codificata impiegando l’insieme opportuno di funzioni lineari di trasformazione.
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Un altro insieme di dialetti frattali è quello dei dialetti non lineari. Uno di essi, il dialetto quadratico, è stato oggetto di attenzione particolare, perché produce una grande ricchezza di forme geometriche a partire da un algoritmo piuttosto semplice ed è strettamente collegato all’odierna teoria del caos.La teoria su cui si basa il dialetto quadratico fu descritta per la prima volta nel 1918 dal matematico francese Gaston Julia, che si trovava allora in un ospedale militare, convalescente delle ferite riportate durante le prima guerra mondiale. Tanto le sue ricerche quanto quelle contemporanee del suo accanito rivale Pierre Fatou furono presto quasi dimenticate, ma di recente il lavoro di Mandelbrot ha riacceso l’interesse per le loro teorie. L’imprese intellettuale di Julia e Fatou è particolarmente notevole perché, non esistendo a quei tempi i calcolatori, essi potevano contare solamente sulle proprie capacità intrinseche di visualizzazione.Julia e Fatou si occupavano di numeri complessi, ciascuno costituito da un numero reale e da un multiplo di i, l’unità immaginaria definita come la radice quadrata di –1. Il numero complesso c è un parametro di controllo che può essere scelto ad arbitrio.Questo processo iterativo, in apparenza semplice, costituisce la base di una famiglia sbalorditiva di forme.Poiché la trasformazione è non lineare, i segmenti di retta vengono trasformati in linee curve.Da un’immagine iniziale emergono due immagini più piccole, poi quattro, poi otto, finché piano piano si forma la figura limite.Come nel caso dei frattali lineari, la figura limite non dipende dalla particolare immagine di partenza, ma è completamente determinata dalla scelta del parametro c.
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Ogni porzione dell’insieme di Mandelbrot caratterizza una famiglia di insiemi di Julia correlati.       Per esempio il corpo principale, a cardioide, dell’insieme di Mandelbrot caratterizza gli insiemi di Julia che somigliano a cerchi raggrinziti.Se si ingrandisce la sua frontiera, l’insieme di Mandelbrot rivela un numero infinito di minuscole copie di se stesso. La ricchezza di forme e di strutture contenute nell’insieme di Mandelbrot può essere apprezzata solo quando lo si esamini con grande minuzia.La proprietà forse più affascinante dell’insieme di Mandelbrot è che esso può essere considerato un “deposito” di immagini di efficienza infinita: oltre a suddividere gli insiemi di Julia in connessi e non connessi, l’insieme di Mandelbrot funge anche da indice diretto e grafico di un numero infinito di insiemi di Julia.Ingrandendo l’insieme di Mandelbrot intorno a un punto c situato sulla sua frontiera, appaiono forme che sono anche gli elementi costitutivi dell’insieme di Julia.
Le proprietà dell’insieme di Mandelbrot sono state e sono tuttora un grande cimento per la ricerca matematica. Il lavoro di gran lunga più riuscito in questo campo è quello sul cosiddetto potenziale elettrostatico dell’insieme di Mandelbrot.Si immagini che l’insieme sia dotato di carica elettrica. Si potrebbe misurare il potenziale collocando una carica puntiforme all’esterno dell’insieme e misurando la forza elettrostatica agente su quel punto.
Tutti i frattali finora esaminati possono essere considerati deterministici.Benché i processi aleatori (per esempio il lancio di un dado) possano aiutarci a produrre immagini frattali, essi non hanno alcun effetto sulla forma frattale finale.La situazione è affatto diversa per un’altra classe di frattali, i cosiddetti frattali aleatori.Per generare un frattale di questo tipo si può cominciare con un triangolo giacente su un piano arbitrario. I punti medi di ciascun lato del triangolo vengono collegati tra loro e il triangolo viene così diviso in quattro triangoli più piccoli. Ciascun punto medio viene poi alzato o abbassato di una quantità scelta a caso. Lo stesso procedimento viene applicato a ciascuno dei triangoli più piccoli e il processo viene ripetuto all’infinito.All’aumentare del numero delle iterazioni, comincia a formarsi una superficie sempre più ricca di particolari.In questo “metodo dello spostamento dei punti medi”, l’entità aleatoria dello spostamento dei punti medi è retta da una legge di distribuzione che può essere modificata fino a ottenere una buona approssimazione della superficie di cui si vuole costruire un modello.Per un modello di una superficie relativamente liscia, le trasformazioni usate dovrebbero prevedere una regola per cui gli spostamenti dei punti medi diventino piccolissimi già dopo poche iterazioni. Una regola del genere aggiunge solo piccole prominenze sullo sviluppo complessivo. Per rappresentare invece una superficie accidentata, per esempio la topografia di una catena montuosa, è meglio far diminuire di poco l’entità degli spostamenti a ogni iterazione.Questo metodo per costruire superfici ha molte applicazioni.E’ stato impiegato per ottenere modelli dell’erosione del suolo e per analizzare le registrazioni sismiche al fine di capire i cambiamenti nelle zone di faglia. Questo concetto è stato usato da Richard F. Voss, collega di Mandelbrot al Thomas J. Watson Research Center, per generare immagini molto realistiche di pianeti, satelliti, nubi e montagne.
I frattali sono in primo luogo e soprattutto un linguaggio della geometria.A prescindere dalla loro origine e dal metodo di costruzione, tutti frattali presentano una caratteristica importante: se ne può misurare la scabrosità, la complessità o l’accartocciamento mediante un numero caratteristico, la dimensione frattale; questa può essere determinata mediante un procedimento di conteggio proposto da Mandelbrot.Si consideri una forma complessa a cui è sovrapposto un reticolo di quadrati tracciati su carta millimetrata. Alcuni quadrati conterranno parte della forma, altri saranno vuoti. Il numero N di quadrati non vuoti dipende dalla forma data e dal lato E dei quadrati del reticolo. Si postula che N sia proporzionale a 1/E con esponente D (più e fitto il reticolo più sono i quadrati non vuoti). L’esponente D è la dimensione.Questo procedimento non è limitato alle forme o agli oggetti matematici contenuti in un piano: si può anche calcolare la dimensione frattale di cose reali come fiumi, nubi, litorali, alberi , arterie o villi intestinali. Le arterie umane, per esempio, hanno una dimensione frattale di circa 2,7.
Oltre a essere utile per descrivere la complessità degli oggetti naturali, la geometria frattale offre un’interessante possibilità per rinnovare l’insegnamento della matematica.I concetti della geometria frattale sono evidenti e intuitivi e le forme che s’incontrano possiedono una grande attrattiva estetica e un’ampia gamma di applicazioni.La geometria frattale può quindi contribuire a sfatare l’idea che la matematica sia arida e inaccessibile e può motivare gli studenti ad apprendere questa sconcertante ed eccitante disciplina.Di fronte al linguaggio dei frattali, così nuovo e in evoluzione tanto rapida, anche gli stessi scienziati e matematici provano una sorta di stupore infantile mentre l’Artista ne trae nuove fonti di ispirazione per la descrizione e comunicazione di nuovi mondi ed emozioni.

 

 

 

 

 

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